الملخص

تقدم هذه الورقة عائلات من المشعبات السباعية الأبعاد المغلقة والبسيطة الاتصال والدوارة مع خرائط طية عليها، حيث قد لا تكون مربعات الفئات التماثلية الثانية قابلة للقسمة على 2. خرائط الطي هي إصدارات عالية الأبعاد من دوال مورس. يطلق المؤلف ويتحدى مجالًا جديدًا: الدراسات الهندسية والبنائية للمشعبات عالية الأبعاد المغلقة والبسيطة الاتصال، وهي كائنات مركزية في الطوبولوجيا الجبرية والتفاضلية الكلاسيكية.

المقدمة والمصطلحات

في هذا القسم، نقدم المفاهيم الأساسية للخرائط السلسة ومجموعات النقاط المفردة. النقطة المفردة لخريطة تفاضلية هي نقطة في المجال حيث يكون بعد صورة التفاضل أصغر من أبعاد المجال والهدف. مجموعة جميع النقاط المفردة هي المجموعة المفردة للخريطة. صورة المجموعة المفردة هي مجموعة القيم المفردة للخريطة. مجموعة القيم العادية هي المجموعة المكملة لمجموعة القيم المفردة.

خرائط الطي

خرائط الطي هي إصدارات عالية الأبعاد من دوال مورس وأدوات أساسية في هذه الورقة وفي مجال يمكن اعتباره نسخة عالية الأبعاد من نظرية دوال مورس وتطبيقاتها في الطوبولوجيا الجبرية والتفاضلية. يتم تعريف خريطة الطي على أنها خريطة سلسة من مشعب أبعاده m بدون حدود إلى مشعب أبعاده n بدون حدود، حيث يكون لكل نقطة مفردة p الشكل (x1, ..., xm) → (x1, ..., xn-1, Σk=n xk2) لإحداثيات مناسبة وعدد صحيح i(p) يرضي 0 ≤ i(p) ≤ (m-n+1)/2.

لخريطة الطي f، فإن S(f) هو مشعب جزئي سلس مغلق بأبعاد (n-1) بدون حدود، وf|S(f) هو غمر، وi(p) فريد لأي p ∈ S(f). نسمي i(p) دليل النقطة p. تُعتبر خريطة الطي خاصة إذا كان الدليل i(p) دائمًا 0 لأي نقطة مفردة p.

المشعبات السباعية الأبعاد

المشعبات السباعية الأبعاد المغلقة والبسيطة الاتصال هي كائنات مهمة في نظرية الطوبولوجيا الجبرية والتفاضلية الكلاسيكية (للمشعبات عالية الأبعاد المغلقة والبسيطة الاتصال). هناك بالضبط 28 نوعًا من spheres التماثل السباعية الأبعاد الموجهة. تم تصنيف المشعبات السباعية الأبعاد المغلقة و2-متصلة عبر نظرية طوبولوجيا جبرية ملموسة. تم تمديد هذا التصنيف سابقًا إلى فئة المشعبات السباعية الأبعاد المغلقة والبسيطة الاتصال التي تكون مجموعات التماثل الثانية لها حرة. هناك مراسلة واحد لواحد بين طوبولوجيات المشعبات السباعية الأبعاد المغلقة والبسيطة الاتصال والدوارة التي تكون حلقات التماثل الخاصة بها متماثلة مع CP2 × S3 والفئات التماثلية الثانية القابلة للقسمة على 4.

النتائج الرئيسية

النتيجة الرئيسية لهذه الورقة هي تقديم عائلات من المشعبات السباعية الأبعاد المغلقة والبسيطة الاتصال والدوارة مع خرائط طية عليها، حيث قد لا تكون مربعات الفئات التماثلية الثانية قابلة للقسمة على 2. هذا يمثل تقدمًا في الفهم الهندسي والبنائي لهذه المشعبات، باستخدام خرائط الطي كأدوات أساسية. النتائج تعتمد على أعمال سابقة في تصنيف هذه المشعبات ونظرية bordism الملموسة.

الخاتمة

قدمت هذه الورقة عائلات جديدة من المشعبات السباعية الأبعاد المغلقة والبسيطة الاتصال والدوارة مع خرائط طية عليها، حيث قد لا تكون مربعات الفئات التماثلية الثانية قابلة للقسمة على 2. هذا يساهم في المجال الناشئ للدراسات الهندسية والبنائية للمشعبات عالية الأبعاد، باستخدام خرائط الطي كامتدادات عالية الأبعاد لدوال مورس. النتائج تقدم فهمًا أعمق لطوبولوجيا هذه المشعبات وتطبيقاتها في الطوبولوجيا التفاضلية والجبرية.